Question

已知函数，曲线在处的切线方程为．

（1）求的值；

（2）求函数在上的最大值；

（3）证明：当时，．

Answer

（1） ；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）可由与解得 ；（2）利用结论“”可得，；（3）现将原不等式转化为

当时，，再利用导数证明即可.

试题解析：（1），由题设得，，，

解得，．

（2）法1：由（1）知，，∴，

故在上单调递增，所以，．

法2：由（1）知，，∴，

∴在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以在上单调递增，所以．

（3）因为，又由（2）知，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时， 的图象恒在切线的上方．

下证：当时，．

设，则，

由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，

又，∴，

所以，存在，使得，

所以，当时，；当，

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

又，∴，当且仅当时取等号．

故．

由（2）知，，故，∴，当且仅当时取等号．

所以，．

即．所以，，

即成立，当时等号成立.

考点：1、导数的几何意义及不等式的证明；2、利用导数研究函数的单调性及最值.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的证明和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.