Question

设有一个网格，其各个最小的正方形的边长，现用直径为的硬币投掷到此网格上，设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点.

（1）求硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；

（2）求硬币落下后与网格线没有公共点的概率.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求完全落在最大的正方形内时，圆心的面积为 ，每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，圆心的面积为，再利用几何概型概率公式求解即可；（2）每个小正方形内与网格没有公共点的部分是正中心的边长为的正方形的内部，一共有个小正方形，总面积有，利用几何概型概率公式求解即可.

试题解析：考虑圆心的运动情况.

（1） 因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度，为原正方形向外再扩张个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧,此时总面积为.

完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在为边长的正方形内，其面积为.

故： 硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：.

（2） 每个小正方形内与网格没有公共点的部分是正中心的边长为的正方形的内部，一共有个小正方形，总面积有：.

故：硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：.

答：硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：.

硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：.

考点：1、数学建模能力和化归思想；2、几何概型概率公式.

【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“硬币落下后完全在最大的正方形内”，“硬币落下后与网格线没有公共点”的理解和应用.