Question

已知函数.

（I）求证：；

（II）设数列满足求；

（III）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（I）见解析；（II）；（III）.

【解析】

试题分析：（I）根据指数的运算性质把化成整理即得要证的结论；（II）把的表达式倒过来写，两式相加，根据（I）的结论，即得；（III）利用等差数列的前项和公式求得，对不等式分离参数可得，研究右边函数的单调性求得求最小值，即得实数的取值范围.

试题解析：（I）证明：

（II）由（I）知

故

又，两式相加得

（III）由（II）知，

数列是一个等差数列，

又在上为递增得函数，当时

则恒成立，实数的取值范围为.

考点：指数运算、倒序相加法求数列的通项公式，等差数列的前项和公式及数列的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查了指数运算、倒序相加法求数列的通项公式，等差数列的前项和公式及数列的最值问题，属于中档题.本题第一问利用指数的运算性质证得是本题解得前提，根据（1）的结论及其形式特点对进行倒序相加即可求得其通项公式；数列中的恒成立问题，本质上还是考查数列的函数特性，在分离参数的基础上，根据对应函数的单调性求得其最值，即可求得参数的范围.