Question

已知定义在R上的函数是奇函数，函数的定义域为．

（1）求的值；

（2）若在上递减，根据单调性的定义求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数

  的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据奇函数的定义可得，整理即得；（2）根据单调减函数的定义，当在上递减，可设任意实数 ，当 时，，整理即得实数的取值范围；（3）整理可得，函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于方程在区间上有且仅有一个非零的实根，通过讨论判别式等于零和大于零两种情况分别求出实数的范围．

试题解析：（1） 函数是奇函数

∴ ．

∴ 得．

（2）∵在上递减

∴ 任给实数 ，当 时

∴

∴

（3）由（1）得，令，即．

化简得．

或 ．

若是方程的根，则，

此时方程的另一根为1，不符合题意．

函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于方程

（※）在区间上有且仅有一个非零的实根．

①当时，得．

若，则方程（※）的根为，符合题意;

若，则与（2）条件下矛盾，不符合题意．

．

② 当时，令

由 得．

综上所述，所求实数的取值范围是．

考点：函数的单调性、奇偶性；函数的零点．

【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性；函数的零点问题，属于中档题．根据函数的奇偶性和单调性求参数的范围是常见题型，其中一种重要方法就是根据定义代入整理，即可得到参数的值或范围；研究函数的零点个数常常转化为方程的根的个数，本题中，通过化简转化为讨论一元二次方程在给定区间上的解的个数问题，结合图象列出关于判别式、开口方向、对称轴的范围及区间端点的符号（多数时候只需要其中的一项或几项即可）满足的不等式组，即可求得参数范围.