Question

已知函数，其中e是自然对数的底数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）试确定函数的零点个数，并说明理由.

Answer

（Ⅰ） 单调递减区间为；单调递增区间为 （Ⅱ） 当时，函数不存在零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，x∈R，得，令g'（x）=0，得x=1．从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）由，得．令h'（x）=0，得x=a．求出函数的单调区间，得到h（x）的最小值为h（a）=1+a．再通过讨论a的范围，综合得出函数的零点个数

试题解析：（Ⅰ）因为，，所以．

令，得．

当变化时，和的变化情况如下：

↗

↘

故的单调递减区间为；单调递增区间为．

（Ⅱ）因为 ，所以 .

令，得．

当变化时，和的变化情况如下：

↘

↗

即的单调递增区间为；单调递减区间为．

所以的最小值为.

①当，即时，函数不存在零点.

②当，即时，函数有一个零点.

③当，即时，， 下证：.

令，则.解得.

当时，，所以 函数在上是增函数.

取，得：.

所以 .

结合函数的单调性可知，此时函数有两个零点.

综上，当时，函数不存在零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值