Question

已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围．

Answer

（1）（2）的取值范围为或．

【解析】

试题分析：（1）由题为求椭圆的方程，可利用条件先设（定性），在利用条件到焦点的最短距离为，

可得：，再结合离心率条件及解出方程。

（2）由（1）已知椭圆的方程，可先设出直线方程（注意斜率不存在的情况），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系建立含和的表达式，又结合条件；化简可得含和的方程，可求出的取值范围。

试题解析：（1）设，设，

由条件知，

解得，故的方程为：．

（2）当直线斜率不存在时：，

当直线斜率存在时：设与椭圆交点为，

∴，得

∴，（*）

∵， ∴， ∴，

消去，得，∴，

整理得，时，上式不成立：时，，

∴时，∴或，

把代入（*）得或，∴或．

综上的取值范围为或．

考点：（1）待定系数法求曲线的方程；（2）直线与椭圆关系及方程思想和代数运算能力。