Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且恰是的中点，若过三点的圆恰好与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻  边的平行四边形是菱形.如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）从已知条件中寻找三者之间的关系，过三点在同一圆上，又，可以得到圆心为，从而得到，再由直线与圆相切可得，最后再利用求出即可；（2）以为邻边的平行四边形是菱形，可得菱形的对角线互相垂直，为的中点，则，联立直线方程和椭圆方程，消元后，利用韦达定理表示出的坐标，进而利用条件可求出的值.

试题解析：【解析】
（1）设椭圆的半焦距为，

由为线段中点，，

所以三点圆的圆心为，半径为，

又因为该圆与直线相切，所以.

所以，故所求椭圆方程为；

（2）将直线代入得.

设，则.

∴，

∴的中点，

由于菱形对角线互相垂直，则.

∴，解得.

即存在满足题意的点，且m的值为.

考点：椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.

【方法点睛】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.