Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，试问过点可作多少条直线与曲线相切？说明理由.

Answer

（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）条.

【解析】

试题分析：（1）写出函数的定义域，对函数求导，当时可得到函数的单调递增区间，令可得函数的单调递减区间，注意函数的定义域；（2）设切点为，写出切线方程，切线过切点，可得到关于的关系式，又切点在曲线上，所以可得，整理得，则此方程有几个根说明切线有几条，构造函数，分析它的零点个数即可.

试题解析：【解析】
（1）函数的定义域为，

由解得；由解得.

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）设过点的直线与曲线相切于点，

当时，.

∴.

∴切线方程为即，

又切点在函数的图象上，则，

∴，即.

设，则，

令，得，故在上单调递增；

由，得，且由定义域知，故在上单调递减.

∴在处取得极小值即为的最小值，

又∵，且有，

故与轴有两个交点，即过点可作条直线与曲线相切.

考点：导数的几何意义，导数求函数的单调区间和最值.

【方法点睛】（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）利用导数的几何意义求曲线的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（3）求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得,而判断零点个数问题可通过分析函数的单调性和最值，大致画出图象，通过图象直观看出零点的个数.