Question

如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，且，点为的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer

（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）连接，根据三角形的性质，证得，即可证明平面，即可证明平面平面；（II）以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量所成的角即可求解二面角的大小.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，

因为，，，点为的中点，

所以.

因为，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（Ⅱ）【解析】
因为侧面底面，所以.

以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

所以即所以可取.

因为平面的一个法向量为，所以.

由图知二面角为锐角，所以二面角的大小为.

考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解.