Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过与两点.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设直线与交于两点，且以为对角线的菱形的一顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.

Answer

（I）；（II），.

【解析】

试题分析：（I）设椭圆方程为，列出方程组，求出的值，即可得到椭圆的方程；（II）设的中点坐标为，将直线与椭圆方程联立，利用及根与系数的关系，得出，再根据面积的最大值，即可求解的值，得到直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）设方程为，则∴

∴的方程为.

（Ⅱ）设的中点坐标为，

将直线与联立，得，

，即.①

又，

依题意有，整理得.②

由①②可得.

因为，所以，所以.

设到直线的距离为，则，

故

，

当时，的面积取最大值，此时，

所以直线的方程为.

考点：椭圆的方程及直线与圆锥曲线的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式、三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合应用，其中此类问题的解答中，把直线的方程和圆锥曲线的方程联立，借助判别式和根据系数的化简、运算是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于难题.