Question

已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对都有成立，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer

（I）单调递增区间为，单调递减区间为；（II）；（III）.

【解析】

试题分析：（I）求出函数的定义域，利用，求得，得出函数的解析式，在定义域内，利用，即可求解函数的单调区间；（II）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使得对都有成立，只需函数的最小值大于，即可求出实数的取值范围；（III）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数在区间上有两个零点，得到不等式组，即可求解实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）直线的斜率为，

函数的定义域为，，

所以，解得，

所以，，

由得，由得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ），

由得，由得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，取极小值，也就是最小值.

∵对都有成立，∴，

∴，∴实数的取值范围为.

（Ⅲ）当时，，

，由得，由得.

所以的单调递增区间是，单调递减区间为，

时，取得极小值.

因为函数在区间上有两个零点，所以解得.

所以的取值范围是.

考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程；函数的零点的判定，利用导数研究函数的极值、最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程、函数的零点的判定、利用导数研究函数的极值、最值等知识点综合应用，是高考命题的常考题型，试题有一定的难度，属于难题，着重考查了等价转化思想、分类讨论思想和学生的推理与运算能力，同时注意导数性质的合理运用，此类问题平时要注重总结和积累.