Question

已知椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在一定点（），使得过定点的直线与曲线相交于、两点，且为定值？若存在，求出定点和定值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）定点为，定值为．

【解析】

试题分析：（1）当是椭圆的上、下顶点时，的面积最大，根据最大值可得，由焦点为可得，解方程组即得，，（2）先研究两种特殊情况即直线分别垂直于轴和轴时， 的值相等，求得的值，再证明该点对于一般情况也成立.

试题解析：（1）设椭圆的方程为（），由已知可得，①

因为为椭圆右焦点，所以，② 由①②可得，，

所以椭圆的方程为．

（2）过点取两条分别垂直于轴和轴的弦、，则，

，，由得

，所以若存在，必为，定值为，

下证满足题意．设过点的直线方程为，代入椭圆的方程中得，设、，

则，，

，，

综上定点为，定值为．

考点：椭圆的方程及直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题.

【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题，考查了考生的推理能力和运算能力，属于难题.本题解答的难点是（2）中证明定值和定点的存在性，处理的一般策略是先根据特殊情况求得定值和定点，然后证明求得的定点和定值也适合一般情况，证明时通过直线与椭圆方程构成的方程组，利用韦达定理证明.