Question

已知函数，曲线在处的切线方程为．

（1）求实数的值；

（2）设（为自然对数的底数），表示的导函数，求证：对于的图象上不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义可得，即得实数的值；（2）要证明的图象上不同两点，满足存在唯一的，使直线的斜率等于即证有唯一解.构造关于的函数，要在区间证明存在唯一解，只需证明在上单调，且满足．分别把看做自变量，研究其单调性，即可判断出，的符号即可证得所需要的结论.

试题解析：（1）由题意得，，所以，

（2）．，，

，即，

设，则是关于的一次函数，

故要在区间证明存在唯一性，只需证明在上满足．下面证明之：

，，

为了判断，的符号，可以分别将，看作自变量得到两个新函数，，讨论他们的最值：

，将看作自变量求导得，

是的增函数，，；

同理：，将看作自变量求导得，

是的增函数，，；

，函数在内有零点

又，，函数在是增函数，

函数在内有唯一零点，从而命题成立．

考点： 导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性及二分法等.

【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性及二分法判断函数零点的存在性，考查了函数与方程的思想和方法及学生的推理、运算能力，属于难题.本题解答的难点是是第二问中把证明“存在唯一的，使直线的斜率等于”转化为证明“函数，在区间证明存在唯一解”，根据其单调性进一步转化为证明，分别研究函数，的单调性得到其符号，从而得到证明.