Question

如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直，平面，且， .

（1）求证：平面；

（2）若，求几何体的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证平面，可以先证明平行于平面内的直线，进而可证明平面；（2）可将该几何体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，就这两个几何体的体积之和即可.

试题解析：（1）如图所示，过点作于，连接，∵为正三角形，，∴.

∵平面平面，平面，平面平面，∴平面.

又∵平面，，∴平行且等于，所以四边形为平行四边形，∴，平面，平面，所以平面.

（2）连接，由题意得，∵平面，平面平面于，

∴平面，∵，平面，平面，∴平面，同理，由可证平面，∵，平面，平面，所以平面平面，∴到平面的距离等于的长，∵为四棱锥的高，

∴.

考点：1、线面平行；2、几何体的体积.