Question

如图所示，已知椭圆：，⊙：，点是椭圆的左顶点，直线与⊙相切于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若⊙的切线与椭圆交于两点，求面积的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先根据切点求出的值，再由，可求出的值，进而可求得椭圆的方程；（2）对切线的斜率进行讨论，分别求出斜率存在与不存在两种情况下弦长的取值范围，进而可求出面积的取值范围.

试题解析：（1）由直线与⊙相切于点，可知点在⊙上，则，又点，且，则，解得，故所求椭圆方程为.

（2）当直线与⊙相切时，若切线斜率存在，设切线为，其中，切线与椭圆交点，，则圆心到直线的距离，∴，

联立方程，消去得，则

，

当切线斜率不存在时，此时，故⊙的切线与椭圆相交弦长取值范围为，

又，可得.

考点：1、椭圆；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.