Question

已知函数，.

（1）当时，求函数在上的单调区间；

（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围.

Answer

（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先对函数进行化简并对其求导，进而可得到函数的单调区间；（2）首先对函数进行化简，也就是对去掉绝对值好号，然后再对进行讨论，并判断出各对应情况下的的单调情况，进而可确定函数的极值点个数，从而得出符合条件的的取值范围.

试题解析：（1）当时，的定义域为，∵，

当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）令，则，当时，；当时， .∴在上单调递增，在上单调递减. ∴

∴，，当时，；.函数在上单调递减，在上单调递增，函数恰有一个极小值，不符合题意.

当时，，或，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数恰有一个极大值一个极小值，符合题意.

当时，，函数在上单调递增，既无极大值也无极小值，不符合题意.

当时，，或，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数恰有一个极大值一个极小值，符合题意.

综上所述，的取值范围是.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、函数的单调区间；3、函数的极值.

【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是:对于问题（1）首先对函数进行化简并对其求导，进而可得到函数的单调区间；对于问题（2）首先对函数进行化简，也就是对去掉绝对值好号，然后再对进行讨论，并判断出各对应情况下的的单调情况，进而可确定函数的极值点个数，从而得出符合条件的的取值范围.