Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线由唯一的公共点，求角的大小.

Answer

（1）当时，直线的普通方程为，当时，直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）首先对直线的倾斜角是否为进行讨论，然后便可得到两种情况下直线的普通方程，再根据即可得到曲线的直角坐标方程；（2）根据题目条件可知直线和曲线是相切关系，因此联立两式并结合，即可求出角的大小.

试题解析：（1）当时，直线的普通方程为；当时，直线的普通方程为，由得，∴，即为曲线的直角坐标方程.

（2）把代入，整理得，由，得，所以或，故直线倾斜角为或.

考点：极坐标和参数方程.

【方法点晴】本题是一个关于极坐标与参数方程方面的综合性问题，属于中档题，解决本题的基本思路及切入点是：对于问题（1）首先对直线的倾斜角是否为进行讨论，然后便可得到两种情况下直线的普通方程，再根据即可得到曲线的直角坐标方程；对问题（2）根据题目条件可知直线和曲线是相切关系，因此联立两式并结合，即可求出角的大小.