Question

已知数列的前项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，求使得不等式恒成立的实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由与的关系求出数列的通项公式；（Ⅱ）用裂项相消法求出,由不等式恒成立, 转化为求的最大值.

试题解析：（Ⅰ）由可得，

∵，∴，

∴，

∴，即，

∴数列是首项为，公比为4的等比数列，

∴．

（Ⅱ）由已知，

∴，

由恒成立，即恒成立．

设，，

所以当时，数列单调递减，当时，数列单调递增；

又，所以数列最大项为，

∴

考点：1.由等比数列定义求出数列的通项公式；2.用裂项相消法求和.

【思路点晴】本题主要考查了用裂项相消法求数列前项和及恒成立的等价转化,属于中档题. 在（Ⅰ）中,用到了公式, 求出与的关系, 算出数列的通项公式, 在（Ⅱ）中,先用裂项相消法求出前项和, 不等式恒成立, 转化为求的最大值, 由,得到数列的单调性, 求出的最大值, 即可得出的范围.