Question

已知圆：和抛物线,圆的切线与抛物线交于不同的两点.

（1）当切线 斜率为 时，求线段的长；

（2）设点和点关于直线 对称，且,求直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设出切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到切线的方程，再联立抛物线的方程，借助弦长公式求得线段的长；（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况考虑，将直线的方程与抛物线联立，消元，分别计算是否成立，从而求得直线的方程.

试题解析：（1）因为圆,所以圆心为,半径.

设,当直线的斜率为时，设的方程为,则

，或（舍），

由消去得,

所以.

弦长.

（2）①当直线的斜率不存在时，因为直线 是圆的切线，所以的方程为,与联立，则得,即,不符合题意 .

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为,即.

由题意知，得①,

由,消去得, 即且，

，

∵点和点关于直线 对称，∴，

∴，

∵，∴，

在直线上代入并化简，得

，

化简，得，②

①+②得，

即，

解得，或．

当时，代入①，解得，满足条件且，

此时直线的方程为；．

总上所述，存在满足条件其方程为.

考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、圆的性质；3、向量的数量积．