Question

已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（   ）

A．                               B．

C．                    D．

Answer

C

【解析】

试题分析：，作函数的图象如右图，要使关于 的方程，有且仅有个不同实数根，设，则当，方程，有个根，当，方程，有个根，当或，方程，有个根，当，方程，有个根，当，方程，有个根．则方程的两个根为；①若，则，故；②若，则，故.综上，实数 的取值范围是．故选C．

考点：根的存在性及根的个数判断．

【方法点睛】根据函数的奇偶性作出分段函数的图象，利用换元法判断函数的根的个数，再利用数形结合即可得到结论．本题主要考查分段函数的应用，根的存在性及根的个数判断，本题既考查了函数的性质的判断与应用，又考查了数形结合的思想的应用．利用换元法结合函数奇偶性的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于压轴题．