Question

2014年12月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民众举报获知某地个储存牛肉的冷库有个冷库牛肉被病毒感染，需要通过对库存牛肉抽样化验病毒来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止.方案乙：将样品分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒,则表明感染牛肉在这三个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷库为止；若结果不含病毒，则在另外一组样品中逐个进行化验.

（1）求依据方案乙所需化验恰好为次的概率.

（2）首次化验化验费为元，第二次化验化验费为元，第三次及其以后每次化验费都是元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？

（3）试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库.说明理由.

Answer

（1）；（2）分布列见解析，；（3）方案乙.

【解析】

试题分析：（1）依方案乙所需化验恰好为次，有两种可能：①先化验一组，结果不含病毒,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒；②先化验一组，结果含病毒，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒，由此能求出依方案乙所需化验恰好为次的概率；（2）由题意知甲方案所需化验费用，由此能求出的分布列和，从而求出用甲方案平均需要化验费元；（3）设甲方案的试验的次数为，，；设乙方案的试验次数为，，，从而乙方案有利于尽快查找到感染冷库．

试题解析：（1）方案乙所需化验恰好为次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为,第二种, 先化验一组，结果含病毒，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为.

所以依据方案乙所需化验恰好为次的概率为.

（2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为,对应的化验费用为元,则

,

,

.

则其化验费用的分布列为

所以（元）.

所以甲方案平均需要化验费元.

（3） 由（2） 知方案甲平均化验的次数为.

设方案乙化验的次数为，则可能的取值为，所以,所以.则,所以方案乙化验的次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库.

考点：1、离散型随机变量及其分布列；2、离散型随机变量的期望与方差．