Question

已知椭圆的焦点坐标是,过点垂直与长轴的直线交椭圆与两点, 且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线与椭圆交与不同的两点,则的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，内切圆面积最大值是，直线方程为.

【解析】

试题分析：（1）由焦点的坐标得的值,由,可得与的关系,两者联立解得的值,即得椭圆的方程；（2）设,不妨设,设的内切圆半径是,由于，所以最大，就最大，因此将问题转化为求最大值.

试题解析：（1）设椭圆的方程是 ,由焦点的坐标得：,由,可得,解得,故椭圆的方程是.

（2）设,不妨设,设的内切圆半径是,则的周长是,,因此最大，就最大, .

由题知，直线的斜率不为，可设直线的方程为,由得,, 解得,

则,令,则,

=,

设在上单调递增，

所以，因为所以此时所求内切圆的面积最大值是，故直线方程为时，内切圆面积最大值是.

考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、函数最值．