Question

定义在上的函数满足，.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间；

（3）如果满足，那么称比更靠近.当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由．

Answer

（1）；（2）当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（3）比更靠近

【解析】

试题分析：（1）令解得，令得代入即得函数的解析式；（2）根据（1）可得的解析式，并求出其导数，再分，和，讨论的符号，从而确定函数的单调区间；（3）设，分和两种情况，推导出，即可确定比更靠近．

试题解析：（1），令解得

由，令得，，

所以，.

（2）因为，所以=，

①当时，总有，函数在上单调递增；②当时，由得函数在上单调递增，由得函数在上单调递减；

综上，当时，总有，函数在上单调递增；当时， 在上单调递增， 在上单调递减.

（3）设，

得在上递减，

所以当时，；当时，

而

所以在上递增，

则在上递增，

①当时，，

在上递减，

，

所以比更靠近

②当时，，，

所以递减，

，比更靠近

综上所述，当 且时，比更靠近

考点：1、利用导数求函数单调区间；2、新定义．

【方法点睛】利用导数求函数单调区间的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导函数；（3）由（或），解出相应的x的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数．（4）结合定义域写出的单调区间．利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系，考查逻辑思维能力，计算能力，属于压轴题．