Question

在如图的多面体中，四边形是边长为的菱形，且，，，平面．

（Ⅰ）在上是否存在点，使得平面，请证明你的结论；

（Ⅱ）求该多面体的体积．

Answer

（Ⅰ） 是中点（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 先探求得：当点是中点时，有∥平面．再利用线面平行判定定理进行论证，此时往往结合平面几何条件寻找或论证线线平行，如本题利用平行四边形得线线平行：取的中点，则∥ ，从而四边形为平行四边形，有∥ （Ⅱ） 求多面体的体积，分割成两个锥的体积和：，而易得平面,因此,代入数值即可.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）当点是中点时，有∥平面．

取的中点，连接.

∥，，∥且，

∴四边形为平行四边形，∴∥，

∵平面，平面，∴平面.

（Ⅱ）连接，.

考点：线面平行判定定理, 多面体的体积

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.