Question

已知点在椭圆：（）上，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求△的面积．

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 由条件可得方程组 ，解得，，所以椭圆的方程为. （Ⅱ）直线与椭圆弦长、面积问题，一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式解决:本题关键转化以为底作等腰三角形，顶点为为，其中中点为，这样可得等量关系，利用韦达定理可得弦中点坐标：，解得，进而可得、两点坐标，以下就具体化了.

试题解析：【解析】
（1）由题意可得，解得，，，

所以椭圆的方程为.

设直线的方程为，代入得……（*）

设， ，中点为，

则，，

因为为等腰的底边，所以，

所以，解得，所以方程（*）为，

解得，，所以，，于是,

此时，点到直线的距离为，

所以△的面积为.

考点：直线与椭圆位置关系

【方法点睛】弦中点问题解法一般为设而不求，方法一求弦AB所在直线方程的关键是求出斜率k，可把点P是弦AB的中点作为突破口求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.