Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ） 单调递增区间为（－∞，1），单调递减区间为（1，＋∞）. 极大值为f（1）＝，无极小值. （Ⅱ） （－∞，0]∪[1，＋∞）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 先求函数定义域x∈R ，再求函数导数f′（x）＝（1－x）e－x ，在定义区间上求导函数零点x=1 ，最后列表分析各区间上导函数符号及变化规律得单调区间和极值：单调递增区间为（－∞，1），单调递减区间为（1，＋∞）. 极大值为f（1）＝，无极小值. （Ⅱ）由于大小不定，所以需分类讨论：当k≤0时，≤0f（1），矛盾；当k≥1时，≥>1，转化为证明f（x） >，这是本题难点，以证代算，证明f（x） >时，需两边取对数转化为2ln x－x＋ >0.最好利用导数对目标函数h（x）＝2ln x－x＋ （00时，x<1；当f′（x）<0时，x>1.

所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，1），单调递减区间为（1，＋∞）.

又f′（x）＝0时，x＝1，所以函数f（x）的极大值为f（1）＝，无极小值.

（2）当k≤0时，因为0f（1），这与函数f（x）在区间（－∞，1）上单调递增矛盾，不符合题意.

当k≥1时，因为01，

由（1）知函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减，所以，

要使，只需令f（x） >，即xe－x > e－，

即ln x－x > －ln x－，即2ln x－x＋ >0.

令h（x）＝2ln x－x＋ （0h（1）＝0，所以，符合题意.

综上可知k∈（－∞，0]∪[1，＋∞）.

考点：利用导数求函数单调区间、极值，利用导数解不等式

【思路点睛】导数与函数的单调性

（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.

（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.