Question

已知菱形，，，半圆所在平面垂直于平面，点在半圆弧上.（不同于）.

（1）若与平面所成角的正弦值为，求出点的位置；

（2）是否存在点，使得，若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由.

Answer

（1）为圆弧中点或者靠近点的三等分点.（2）不存在

【解析】

试题分析：（1）对空间角，一般利用空间向量进行研究：先根据面面垂直关系，建立空间直角坐标系，利用三角设点，，确定平面的一个法向量为，即，利用向量夹角与线面角互余关系列等量关系：，解出或，明确点位置（2）同样由得关系式，解得与矛盾，故无解

试题解析：【解析】
（1）为圆弧中点或者靠近点的三等分点，计算如下：

连接，在半圆内作交圆弧于点，则为圆弧中点，以为原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，设，，则点，，平面的一个法向量为，，

，所以或，∴或，为圆弧中点或者靠近点的三等分点.

（2），则点，，，，，，若，则，得，则与矛盾，∴在半圆弧上不存在点使得.

考点：利用空间向量研究线面角

【方法点睛】（1）探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.（2）反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.