Question

经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（其中（万元）表示购车价格，（元）表示商业车险保费）：、、、、、、、，设由这8组数据得到的回归直线方程为：.李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车.

（1）试估计李先生买车时应缴交的保费；

（2）从2016年1月1日起，福建等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：

上一年的出险次数	0	1	2	3	4
下一年保费倍率	85%	100%	125%	150%	175%	200%
连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折

有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出现次数的频数分布如下（并用相应频率估计车辆2016年度出现次数的概率）：

一年中出险次数	0	1	2	3	4	5次以上（含5次）
频数	500	380	100	15	4	1

根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴交的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）

Answer

（1）（2）减轻

【解析】

试题分析：（1）先根据经过样本中心，而，确定，再求自变量时所对应函数值（2）先明确随机变量取值0.85，1，1.25，1.5，1.75，2，再根据频率代替概率得概率分布，最后根据数学期望公式求数学期望，比较数学期望与1的大小，判定是否减轻负担

试题解析：（1）（万元）．

（元）

直线经过样本中心，即

∴，．

（2）设该车辆2017年的保费倍率为，则为随机变量，的取值为0.85，1，1.25，1.5，1.75，2，

的分布列为

0.85

1

1.25

1.5

1.75

2

0.50

0.38

0.10

0.015

0.004

0.001

计算得下一年保费的期望倍率为

，

该车辆估计2017年应缴保费为元.因（或），基于以上数据可知，车险新政总体上减轻了车主负担.

考点：回归直线方程，数学期望

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.