Question

已知函数，直线为曲线的切线.

（1）求实数的值；

（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）1.（2）

【解析】

试题分析：（1）设切点，先根据导数几何意义得，再根据切点在曲线上也在切线上得，解方程组得（2）先确定函数，构造函数，利用导数研究函数零点：唯一的，使，因此，从而，再研究分段函数单调性：，即在上恒成立， 即在上恒成立及 在上恒成立.再一次利用导数求对应函数最值：，可得，对也满足

试题解析：【解析】
（1）对求导得，设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1.

（2）记函数，下面考察函数的符号.

对函数求导得.

当时，恒成立，当时，，

从而，

∴在上恒成立，故在上单调递减.

∵，∴.

又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知，唯一的，使，所以.

∴，从而，

∴，由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在上恒成立.

①当时，在上恒成立，即在上恒成立.

记，，则，，当变化时，、变化情况如下表：

－

0

＋

↘

极小值

↗

∴.故“在上恒成立”只需，即.

②当时，，当时，在上恒成立.

综合①②知，当时，函数为增函数.

故实数的取值范围是.

考点：导数几何意义，利用导数求函数最值，利用导数研究函数零点

【思路点睛】导数与函数的单调性

（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.

（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.