Question

已知数列中，.设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.

Answer

【解析】

试题分析：∵，∴.

当时，，

，

∴，

当时，也满足上式，∴数列的通项公式为.

令，则，当时，恒成立，

∴在上是增函数，故当时，，

即当时，，

要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，

则须使，

即对恒成立，

∴解得或，∴实数t的取值范围为.

考点：不等式恒成立，叠加法求通项，裂项相消法求和，基本不等式求最值

【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或.