Question

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，平面 平面，为的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）在中，，三棱锥的体积是，求二面角 的大小.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）60°

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往结合平面几何知识进行寻找与论证，本题利用三角形中位线性质得到线线平行（Ⅱ）由于平几知识得，ABCD为矩形，又平面平面ABC，因此AB，AD，AP两两垂直.因此可建立空间直角坐标系，利用空间向量研究二面角：先根据方程组求出平面ACE的法向量及平面DAE的法向量，再利用向量数量积求法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系求二面角

试题解析：【解析】
（Ⅰ）连结交于点，连结.

因为是平行四边形，所以为的中点.

又为的中点，所以.

平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因为在中，，

所以，所以，∴.

又因为平面平面ABC，所以PA⊥平面ABC，

在平行四边形ABCD中，AC=BD，所以ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，

因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为，

设AB=m（m>0），三棱锥E-ACD的体积，解得m=3=AB .

则，，

设B（3,0,0）（m>0），则.

设为平面ACE的法向量，

则即可取.

又为平面DAE的法向量，

由题设，

即二面角D-AE-C的大小是60°.

考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.