Question

某市为了缓解交通压力，提倡低碳环保，鼓励市民乘坐公共交通系统出行.为了更好地保障市民出行，合理安排运力，有效利用公共交通资源合理调度，在某地铁站点进行试点调研市民对候车时间的等待时间（候车时间不能超过20分钟），以便合理调度减少候车时间，使市民更喜欢选择公共交通.为此在该地铁站的一些乘客中进行调查分析，得到如下统计表和各时间段人数频率分布直方图：

分组	等待时间（分钟）	人数
第一组	[0,5）	10
第二组	[5,10）	a
第三组	[10,15）	30
第四组	[15,20）	10

（Ⅰ）求出a的值；要在这些乘客中用分层抽样的方法抽取10人，在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组的概率；

（Ⅱ）从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据频数、频率与总数关系列式可得.先确定第一，第二，第三，第四组分别抽取人数1,5,3,1，再确定个人中随机抽取3人都不来自第二组的取法，最后根据对立事件概率关系得（Ⅱ）先确定随机变量的取法：1,2,3，再分别计算各自概率：这3个人共来自同一小组，只有两种可能，因此，这3个人分别来自三个小组，有4种可能，因此，对于可用间接法求得，列表可得分布列，根据公式可求数学期望

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由题可知，.

采取分层抽样的方法在第一，第二，第三，第四组分别抽取：1,5,3,1人.

“在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组”记为事件A，

则.

（Ⅱ）X的可能取值为1,2,3，

，，

，

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

考点：频率分布直方图，数学期望

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.