Question

已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程就是利用条件确定，由是等腰直角三角形，得（Ⅱ）直线过定点问题，实质是先求直线方程，再证过定点,以算代证. 当直线的斜率不存在时，易得方程为，显然过点.当直线的斜率存在时，设方程为，由，可得，即，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得一元二次方程，利用韦达定理可得.代入化简得，从而直线的方程为，过定点

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得，

故椭圆方程为.

（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，设方程为，依题意.

设，

由得.

则.

由已知，可得，

所以.所以，整理得.

故直线的方程为，即.

所以直线过定点.

（2）若直线的斜率不存在，设方程为，

设，由已知，得，

此时方程为，显然过点.

综上，直线过定点.

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，直线过定点

【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.