Question

已知函数在处取得极值.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，求证：.

Answer

（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数导数，根据极值定义可得，，再求导函数零点，最后列表分析导函数符号，确定单调区间（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值：最小值，利用导数研究函数最小值：先求导数，研究其时符号为正，因此，从而（Ⅲ）证明不等式，关键利用函数单调性，难点在于确定目标函数：由（Ⅰ）可知，取，则，从而可得，即

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由题意得，所以即，∴，

令，可得，令，可得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）由题意要使时，恒成立，即，

记，则，

，又令，则，又，所以，

所以在上单调递增，即，∴，

即在上单调递增，所以，∴.

（3）∵函数在区间上单调递减，而（），

∴，∴，即，

∴，

即，而，

∴结论成立.

考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值，利用导数求证不等式

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.