Question

选修4-1：几何证明选讲

如图，直线经过⊙上一点，⊙的半径为，是等腰三角形，且是中点，⊙ 交直线于.

（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；

（Ⅱ）若的正切值为，求的长.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）5

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证直线与⊙相切，就是要证OC⊥AB，而是中点，因此需证OA=OB，这是已知条件，结论成立（Ⅱ）由弦切角定理得，所以，从而，再根据切割线定理得，从而可解得BD=2，OA=OB=BD+OD=3+2=5.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）连接，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，

∴AB是⊙的切线，即直线AB与⊙相切.

（Ⅱ）依题意知，DE是直径，∴，

∴在Rt△ECD中，由tan=，得，

∵AB是⊙的切线，∴，

又∵，∴，

∴，设BD=x，则BC=2x，

又，∴，解得，

∵，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5.

考点：等腰三角形性质，弦切角定理，切割线定理，三角形相似

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．