Question

已知常数，设各项均为正数的数列的前项和为，满足，（）．

（I）若，求数列的通项公式；

（II）若对一切恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（I）（II）

【解析】

试题分析：（I）时，,变形得，即数列为一个等差数列，从而，再根据得；也可变形为，即，从而有（II）同（I）可得，再利用叠加法得到，利用得，因为对一切恒成立，可化简为对一切恒成立，变量分离得对一切恒成立，下面只需求出最大值即可，利用求数列单调性方法得是一切中的最大项，因此

试题解析：【解析】
（I）时，．

又，．

，．．

，．

（II），，．

则，，，（）．

相加，得．

则（）．

上式对也成立，

（）． ①

（）． ②

②①，得，即

．

，，．

对一切恒成立，

对一切恒成立．即对一切恒成立．

记，则．

当时，；

当时，；

是一切中的最大项．

综上所述，的取值范围是．

考点：由和项求通项，叠加法求和，数列单调性

【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.