Question

如图所示，在直三棱柱中，，，，点是的中点．

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求平面与平面所成二面角的正弦值．

Answer

（I）由于直三棱柱及，所以可建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线线角：先确定各点坐标，表示出两直线方向向量：，．再利用向量数量积求出两向量夹角，最后根据向量夹角与线线角关系得结论（II）同（I），建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角：先列方程组求出各面法向量，再利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结论

【解析】

试题分析：（I）（II）

试题解析：（I）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，，，，，

所以，．

因为，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

（II）设平面的法向量为，

因为，，

所以，，即且，

取，得，，所以，是平面的一个法向量．

取平面的一个法向量为，

设平面与平面所成二面角的大小为．

由，得．

因此，平面与平面所成二面角的正弦值为．

考点：利用空间向量求线线角、二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.