Question

已知函数，其中是自然对数的底数，．

（I）若，求曲线在点处的切线方程；

（II）若，求的单调区间；

（III）若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的取值范围．

Answer

（I）（II）详见解析（III）

【解析】

试题分析：（I）根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程（II）先求函数导数，再研究导函数零点情况，即一元二次方程根的情况：，，按两个根的大小，分三种情况讨论①若，三个单调区间，②若，一个单调区间③若，三个单调区间，（III）本题按两个函数分别讨论，这两个函数的极值点为，，从图像可知两函数有三个交点的条件为，解得实数的取值范围是．

试题解析：（I）时，，

所以，

所以曲线在点处的切线斜率为．又因为，所以所求切线

方程为，即．

（II），

①若，则当或时，；

当时，．

所以的单调递减区间为，；

单调递增区间为．

②若，则，所以的单调递减区间为．

③若，则当或时，；

当时，．

所以的单调递减区间为，；单调递增区间为．

（III）时，，

由（II）知，在上是减函数，在上是增函数，

在上是减函数．

所以在处取得极小值，在处取得极大值．

由，得．

当或时，；当时，．

所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．

故在处取得极大值，在处取得极小值．

因为函数与的图象有个不同的交点，

所以，即，所以．

故实数的取值范围是．

考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数零点

【思路点睛】先把方程解的问题转化为函数的零点问题.，再利用导数解决与函数零点（或方程的根）有关的问题：通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.