选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，直线
过
，倾斜角为
（
）．以
为极点，
轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（I）求直线
的参数方程和曲线
的直角坐标方程；
（II）已知直线
与曲线
交于
、
两点，且
，求直线
的斜率
．
选修4-1：几何证明选讲
中，
，
，
，
，点
在
上，且
．
求证：（I）
；
（II）
．
已知函数
，其中
是自然对数的底数，
．
（I）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（II）若
，求
的单调区间；
（III）若
，函数
的图象与函数
的图象有
个不同的交点，求实数
的取值范围．
设椭圆的中心为原点
，焦点在
轴上，上顶点为
，离心率为
．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）设
，
，过
作直线
交椭圆于
，
两点，使
，求直线
的方程．
年
月青岛大排档宰客一只大虾卖
元，被网友称为“天价大虾”，为了弄清楚大虾的实际价格与利润，记者调查了某虾类养殖户，在一个虾池中养殖一种虾，每季养殖成本为
元，此虾的市场价格和虾池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（I）设
表示在这个虾池养殖
季这种虾的利润，求
的分布列和期望；
（II）若在这个虾池中连续
季养殖这种虾，求这
季中至少有
季的利润不少于
元的概率．
如图所示，在直三棱柱
中，
，
，
，点
是
的中点．
（I）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（II）求平面
与平面
所成二面角的正弦值．
