Question

在三棱柱中中，侧面为矩形，是的中点，与 交于点，且平面．

（1）证明：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到，而线线垂直的寻找与论证，往往需要结合平几知识进行：如本题就可利用三角形相似得到，再由线面垂直平面得到线线垂直，因此得到平面，即（2）由（1）中垂直关系可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角：先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解

试题解析：（1）由题意，

又，∴，

∴，

∵，∴，又平面，∴，

∵与交于点，∴平面，又平面，

∴．

（2）

如图，分别以所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以．

设直线与平面所成角为，则

考点：线面垂直判定与性质定理，利用空间向量求线面角

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.