Question

已知椭圆的离心率为，分别为的上、下顶点且为外的动点，且到上点的最近距离为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当时，设直线分别与椭圆交于两点，若的面积是的面积的 倍，求的最大值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是列出两个独立条件，解对应方程组即可，本题关键是转化条件：到上点的最近距离为，再结合离心率可得，（2）求最值问题，首先将研究对象转化为一元函数：，再将直线方程与椭圆方程联立，解出对应点坐标，，，代入化简得，最后根据导数或基本不等式求最值

试题解析：（1）由于到椭圆上点的最近距离，∴，

又，解得，

所以椭圆方程为

（2）解法一：，

直线方程为：，联立，得，

所以到的距离

，

直线方程为：，联立，得，

所以，所以 ，

所以，

所以，

令，则，

当且仅当，即时，取“”，所以的最大值为

解法二：直线方程为，联立，得，

直线方程为：，联立，得，

，

令，则，

当且仅当，即时，取“”，

所以的最大值为

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，最值问题

【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.