Question

已知函数（为常数，为自然对数的底数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数．

（1）求实数的值；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）讨论关于的方程的根的个数．

Answer

（1）（2）（3）当，时，方程无实根；当时，方程有一个根；

当时，方程有两个根．

【解析】

试题分析：（1）由奇函数定义得，即，化简得，因此，也可从特殊点出发求出的值，然后再验证为奇函数（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题，易得，因此不等式转化为在时恒成立，这可看作为一次函数，从而等价于，解得实数的取值范围（3），可看作两个函数，它们极值点相同为，单调性相反，结合图像可得结论.也可看作一个函数，根据单调性及零点存在定理确定零点个数.

试题解析：【解析】
（1）∵是奇函数，

∴，即恒成立，

∴，∴，

即恒成立，

故．

（2）由（1）知，∴，

∴要使是区间上的减函数，则有恒成立，∴．

又∵，

∴要使，在上恒成立，

只需在时恒成立即可．

∴（其中）恒成立即可．

令，则，即，

而恒成立，∴．

（3）由（1）知方程，即，

令，

∵，

当时，，∴在上为增函数；

当时，，∴在上为减函数；

当时，，

而，

当时，是减函数，当时，是增函数，

∵当时，．

故当，即时，方程无实根；

当，即时，方程有一个根；

当，即时，方程有两个根．

考点：奇函数定义,利用导数研究不等式恒成立，利用导数研究函数零点

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.