Question

选修4-1：几何证明选讲

如图，是的直径，弦延长线相交于点为延长线上一点，且，

求证：（1）；（2）．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）线段成比例，往往转化为对应三角形相似：由得，因此，从而（2）要证，由四点共圆即证，由四点共圆即证,即,而是的直径，所以成立

试题解析：

【解析】

（1）证明：连接，在和中，

∵，∴，

又，∴，

则，∴．

（2）在中，，又，

∴四点共圆；

∴，又是的直径，则，

∴．

考点：三角形相似，四点共圆

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．