Question

如图，在底面为菱形的四棱锥中，，点在上，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：∵在菱形中，，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴平面．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得

，

则．

设平面的一个法向量为，

则，即

设，可得．

而平面的一个法向量为，

∴．

设所求二面角的平面角为，

则，

所以二面角的正弦值为．

2

（Ⅲ）因为，为上一点，，

则有，故点坐标为．

所以．

由（Ⅱ）可知平面的一个法向量为．

若平面，则，得．

则，即的值为．

考点:空间直线与平面的平行与垂直，二面角的求法.

【方法点睛】利用空间向量证明垂直是首选的方法，由于判断两线垂直只需数量积为零，方便而且有说服力，求二面角用空间向量只需计算准确，达到以数助形的目的，