Question

已知数列中，．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）设，若，使成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：∵，

∴．

∵，∴．

∴．

∴数列是首项、公比均为2的等比数列．

（Ⅱ）【解析】
∵是等比数列，首项为2，通项，

故

，

当时，符合上式，

∴数列的通项公式为．

（Ⅲ）【解析】
∵，

∴．

∴

故．

若，使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为．

考点：累加法求数列通项公式，裂项相消法数列求和，恒成立问题.

【方法点睛】证明数列为等比数列，就是证明数列的后一项与前一项的比为同一个常数，证明时千万注意题目的暗示，谁是等比数列？证明什么？目标明确了，就有了证明的方向.掌握求数列的通项公式的基本方法，特别是累加与累乘法及构造法，是高考常见考法，数列求和常用方法有分组求和法、倒序相减法、裂项相消法、错位相减法等，而近年高考命题中的数列求和，则偏向分析法分组求和.