Question

已知函数．

（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；

（Ⅲ）根据的不同取值，讨论函数的极值点情况．

Answer

(1)1 (2) (3)当时，函数无极值点；当时，函数无极值点；

当时，函数有一个极小值点和一个极大值点；

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，其定义域为，，

所以在上是增函数，当时，．

故函数在上的最小值是1．

（Ⅱ）由题设条件，得，设，

依题意，在区间上存在子区间使不等式成立．

因为函数的图象是开口向上的抛物线，

所以只需或即可．

由，即，得；由，即，得．

∴若在上存在单调递增区间，则的取值范围是．

（Ⅲ）由（Ⅱ），可知．

（ⅰ）当时，在上恒成立，

此时，函数无极值点；

（ⅱ）当时，若，即时，

在上恒成立，此时，函数无极值点；

若，即时，易知当时，，此时；

当或时，，此时．

所以当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点，

综上，当时，函数无极值点；当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点．

考点：导数与函数的单调性，导数与函数的极值，导数与函数的最值.

【方法点睛】连续函数在闭区间上有最大值和最小值，求函数在闭区间上的最值，先求函数的极值与区间两端点的函数值比较，便可求出最值；函数在某区间上存在单调递增区间，就是导函数不小于零在此区间上有解；讨论函数的极值点情况，先求导，根据参数的范围，利用分类讨论思想，研究方程的解的情况及的正负，若函数在某区间上单调，则无极值点？若是极值点，不仅满足，而且还需要左右导数值正、负相反.