Question

如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正（主）视图和侧（左）视图（单位：）.

（Ⅰ）画出该多面体的俯视图；

（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：平面.

Answer

（I）俯视图见解析；（II）；（III）证明见解析.

【解析】

试题分析：（I）根据几何体的结构特征与它的正（主）视图和侧（左）视图可得其侧视图；（II）由题意可得：所求多面体体积；（III）由原题可得：点、分别是正方形的中点，取与的中点分别为、，所以，即可得到，根据线面平行的判断定理可得线面平行．

试题解析：（Ⅰ）如图

（Ⅱ）所求多面积体积

（Ⅲ）证明：由多面体的侧（左）视图可得：点、分别是正方形的中点，

取与的中点分别为、，

所以，

根据几何体的结构特征可得：，

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）棱柱、棱锥、棱台的体积.

【方法点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式；熟练掌握证明线面问题的有关定理．在几何体三视图中，俯视图看到的是几何体的常和宽，可见轮廓线用实线表示，得结果；常见的线面平行证明方式有：1：利用三角形的中位线；2：构造平行四边形；3：利用面面平行等.