Question

设为实数，函数的最大值为.

（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）试求满足的所有实数.

Answer

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ），或.

【解析】

试题分析：（I）由已知，且定义域，易求得的取值范围，且，；

（II）即为函数，的最大值．结合二次函数图象与性质，分类讨论的方法求解；

（III）将化为具体方程，须利用分段函数的知识，分，的范围进行分类讨论．

试题解析：（Ⅰ）令，

要使有意义，必须且，即，

∴， ①的取值范围是.

由①得，

∴，.

（Ⅱ）由题意知即为函数，的最大值.

注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论.

（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，∴.

（2）当时，，，∴.

（3）当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若，即，则；

若，即，则；

若，即则.

综上，

（Ⅲ） 情形1：当时，此时，，

由解得，与矛盾.

情形2：当时，此时，，

解得，矛盾.

情形3：当，时，此时，

所以.

情形4：当时，，此时，

，解得，与矛盾.

情形5：当时，，此时，，

由解得，与矛盾.

情形6：当时，，此时，，

由解得，由得.

综上知，满足的所有实数为，或.

考点：（1）二次函数在闭区间上的最值；（2）函数的最值及其几何意义；（3）二次函数的性质.

【方法点睛】本题考查二次函数的图象、性质，考查分段函数值求解，方程求解，渗透了数形结合、分类讨论的思想．在利用换元法求函数的解析式时，需注意新的变量的取值范围，在进行分类讨论时要注意“不重复、不遗漏”，具体的说在（2）中，不要漏掉情形，在（3）中要考虑，分别与，的大小关系．