Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上的点到其焦点的距离等于5.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，若，求三角形的面积.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线定义可得，则抛物线的方程为；（Ⅱ）设直线的方程为，联立方程，可得的中点，由已知，即，，故，.

试题解析：（Ⅰ）由题知，点到抛物线的准线距离为5，所以准线方程为，，

抛物线的方程为

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设其斜率为，由于过焦点，

所以直线的方程为，

取的中点，连接，则，由于，所以点也是线段的中点，

设、、，则，

由得，所以，

，，即

，即，

整理得，即，

原点到直线的距离为

考点：直线与圆锥曲线的位置关系．

【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．