Question

已知函数，，其中．

（Ⅰ）求在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，证明：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义可知，切线斜率，又切点为，则所求切线方程为；

（Ⅱ）构造函数，可知时， 单调递减；时，单调递增，故，即，则；又令，同理可得，即，则.可知，在定义域内，当时，，得证.

试题解析：（Ⅰ），即切点为.，，即切线的斜率为，切线方程为，即.

（Ⅱ）证明：先设，定义域为，则.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即，则.

再设，定义域为，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即，则.

又知，时，当时，.结合前述讨论，可得，因为两个等号分别当，时取得，所以，综上所述，当时，.……12分

考点：导数的应用．